| Kommentar |
Der Logik generell oder auch einer besonderen, aus bestimmten Gründen interessierenden Sorte von Logik kann man sich auf zwei verschiedenen Wegen nähern: auf dem syntaktisch-axiomatischen oder auf dem (formal-)semantischen Weg. Im ersten Fall versucht man wesentliche Aspekte des Gebrauchs der sprachlichen Ausdrücke (und ihrer symbolischen Gegenstücke), die als „logische Ausdrücke” in den Blick treten, durch die Formulierung geeigneter Axiome und Schlussregeln zu erfassen. Im zweiten Fall konzipiert man einen Interpretations- oder Modellbegriff und macht dann von der Möglichkeit Gebrauch, solche symbolischen Formeln als besondere Fälle auszuzeichnen (als „logische Gesetze”, als „allgemeingültige” Objekte), die bei jeder möglichen Interpretation als wahr herauskommen.
Regelmäßig möchte man beide Zugänge zur Deckung bringen. Das heißt im Falle der klassischen Prädikatenlogik mit Identität, um die es in dieser Vorlesung geht: Man würde sich gern der Existenz eines Axiomensystems versichern, innerhalb dessen genau diejenigen prädikaten- und identitätslogischen Formeln beweisbar sind, welche nach Maßgabe des verwendeten Interpretationsbegriffs allgemeingültig sind. Dies schließt die sogenannte Vollständigkeitsfrage ein: Ist jede allgemeingültige Formel in meinem Axiomensystem beweisbar? Zu dieser Frage hieß es noch 1928 in einem damals kanonischen Logikbuch, dem „Hilbert-Ackermann”:
„Ob das Axiomensystem wenigstens in dem Sinne vollständig ist, dass wirklich alle logischen Formeln, die für jeden Individuenbereich richtig sind, daraus abgeleitet werden können, ist eine noch ungelöste Frage. Es lässt sich nur rein empirisch sagen, dass bei allen Anwendungen dieses Axiomensystem immer ausgereicht hat.”
Die offene Frage wurde dann durch den jungen K. Gödel im Jahre 1929 geklärt. Seitdem spricht man von einem „Gödelschen Vollständigkeitssatz”. Der Beweis markierte einen wichtigen Durchbruch in Fragen der Axiomatisierbarkeit; und auch, wenn man an spätere informatische Entwicklungen denkt, einen Durchbruch auf dem Weg dahin, maschinellen Systemen das logische Schließen und das Beweisen beizubringen.
Ein komplett durchgeführter Beweis des Vollständigkeitssatzes, nach der heute üblichen Methode von L. Henkin konzipiert, findet sich in dem unten angegebenen, häufig verwendeten Lehrbuch von Beckermann (dort in Kap. IV, Abschn. 26). Bei Beckermann werden jedoch die Komplikationen beiseite gelassen, die sich aus einer Berücksichtigung der Logik der Identitätsbeziehung ergeben würden. In dieser Hinsicht ist die Darstellung in Nortmann (2003), Kap. V und VI, umfassender. Die Vorlesung wird letzterem Buch folgen, das allerdings im Buchhandel seit einiger Zeit vergriffen ist. Die wesentlichen Definitionen (und bei Bedarf auch mehr) können in Form von Fotokopien zur Verfügung gestellt werden.
Vorkenntnisse: Logikkenntnisse, wie man sie durch erfolgreiche Teilnahme an der Vorlesung „Einführung in die Sprachphilosophie und Logik” erwerben kann.
Literatur:
Beckermann, A., Einführung in die Logik; Berlin 2003 (und öfter).
Nortmann, U., Sprache, Logik, Mathematik; Paderborn 2003. |
