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Modallogik, oder genauer gesagt: alethische Modallogik, ist die Logik der Modalbegriffe der Möglichkeit und der Notwendigkeit. Notwendigkeit und, dual dazu, Möglichkeit kann man auf viele verschiedene Weisen explizieren. Eine „Möglichkeit“ besteht darin, sich unter der Notwendigkeit einer Aussage deren Beweisbarkeit in einer gegebenen, irgendwie ausgezeichneten axiomatischen Theorie vorzustellen. Von diesem Punkt aus ist es nur noch ein kleiner gedanklicher Schritt zur Grundidee der sogenannten Beweisbarkeits-Modallogik (provability logic): Man kann Formeln der modalen Aussagenlogik in formalisierte zahlentheoretische Aussagen quasi übersetzen, indem man für den Notwendigkeitsoperator das im Gödelstil arithmetisierte Beweisbarkeits-Prädikat für die Peano-Arithmetik eintreten lässt (nachdem die atomaren Satzsymbole zuvor irgendwie durch arithmetische Aussagen interpretiert worden sind).
Das Studium eines ganz bestimmten Systems der alethischen Modallogik, welches schon für sich genommen von Interesse ist, ermöglicht es dann, auf elegante Art und Weise modallogisch die mit Gödels Namen verknüpften, klassischen beweistheoretischen Resultate herzuleiten. Dieser Zusammenhang stellt eine der aufregendsten Anwendungen der Modallogik dar, die man in den letzten dreißig Jahren gesehen hat.
Wir wollen uns in diesem Master-Seminar den betreffenden Stoff im Wesentlichen anhand von Boolos (1979) erarbeiten, wobei für den größeren modallogischen Rahmen auch mit Gewinn auf Hughes/Cresswell (1996) zurückgegriffen werden kann.
Literatur:
Boolos, G., The Unprovability of Consistency — An Essay in Modal Logic; Cambridge 1979.
Boolos, G., The Logic of Provability; Cambridge, 3. Aufl. 1996.
Hughes, G., und Cresswell, M., A New Introduction to Modal Logic; London 1996.
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