| Kommentar |
Hauptziel der Vorlesung ist die Herleitung einer Einsicht, die wir Kurt Gödel verdanken („Gödelscher Vollständigkeitssatz“, 1930): Dass die Menge der allgemeingültigen Formeln der Prädikatenlogik (erster Stufe, mit Identität und Funktoren) vollständig axiomatisierbar ist. Der Beweis wird nach der Methode von Leon Henkin (1921–2006) am Leitfaden von unten Nortmann (2003), Kap. IV bis VI, geführt werden. Dies bedeutet, dass, grob gesprochen, gezeigt wird: Jede syntaktisch konsistente Formelmenge hat ein „Modell“, das heißt, es gibt eine prädikatenlogische Interpretation, bei der alle Elemente der gegebenen Formelmenge mit wahr bewertet werden.
Weil beim Beweis schon die Möglichkeit der Existenz „merkwürdiger Modelle“, etwa für eine Axiomatik der elementaren Zahlentheorie, in den Blick rückt, ist die Angelegenheit in gewisser Weise bereits eine Hinführung zum „Ersten Gödelschen Unvollständigkeitssatz“ (1931) – einem seinerzeit besonders aufsehenerregenden und heute fundamentalen Resultat in der Metatheorie axiomatischer Theorien, das nur dem Namen nach und scheinbar im Widerspruch zum Vollständigkeitssatz steht (Näheres zum Verhältnis beider Sätze dann in der Vorlesung).
Neben dem soweit umrissenen Beweisziel geht es in der Vorlesung auch um die Einübung in den Gebrauch grundlegender logisch-philosophischer Begriffe wie desjenigen einer maximalkonsistenten Aussagen- oder Formelmenge und, vorbereitend dazu, des Begriffs der syntaktischen Konsistenz für beliebige, auch unendliche, Formelmengen.
Vorkenntnisse: prädikatenlogischer Interpretationsbegriff, entsprechender Gültigkeitsbegriff.
Literatur:
Berka, K., und Kreiser, L., Logik-Texte. Kommentierte Auswahl zur Geschichte der modernen Logik; Berlin (Ost) 1983. Darin die Nachdrucke von Gödel (1930), Gödel (1931) und Henkin (1949). [Diese Verweise mehr der historischen Vollständigkeit halber; für Absolventen eines einführenden Kurses „Sprachphilosophie und Logik“ werden die betreffenden Texte in der Regel noch nicht lesbar sein.]
Nortmann, U., Sprache, Logik, Mathematik; Paderborn 2003. |
